توپیرونه - څه ده؟ څنګه کولای شو چی د فعالیت د توپیر پیدا کړم؟

سره مشتقاتو د هغوی دندي توپیر - دا د اساسي مفاهيمو ځينې د differential کلکولس، اصلي کړی ، د محاسبوي تحلیل. لکه څنګه چې بیلیدونکی تړاو لري، د دوی دواړو د څو پېړيو په پراخه کچه په تقریبا ټولو ستونزو ته چې د علمي او تخنيکي فعاليت په کورس کې راپورته حل کارول.

د د differential مفهوم راڅرګندېدو

د لومړي ځل لپاره دا څرګنده کړه چې دا ډول توپیر، د یو بنسټګر (سره Isaakom Nyutonom په اوږدو کې) differential کلکولس مشهور د جرمني ریاضي Gotfrid Vilgelm Leybnits کړې. مخکې چې د رياضي 17th century. د هر مشهور دنده ځينې infinitesimal "ویشل کیدونکو" ډېر روښانه او مبهم نظر کارول، يو ډېر کوچني ثابت ارزښت خو مساوي نه صفر ته، په لاندې چې د ارزښتونو د فعالیت نه شي کولای په ساده وي استازیتوب کوي. نو له دې کبله دا د د د دنده بحثونو او د هغوی د دندو، چې کیدای شي د د ورستنيو مشتقاتو له پلوه څرګند شي اړوندو زیاتوالی infinitesimal زیاتوالی نظریې د معرفي يوازې يو ګام و. او دا ګام وه تقریبا په عین وخت کې د پورته دوه غوره پوهانو وړل.

پر بنسټ د اړتیا فوری عملی ميخانيکونو ستونزې چې د ساينس د مقابلې حل په چټکۍ سره د صنعت او ټکنالوجۍ د پراختيا، د نیوټن او Leibniz (په ځانګړي ډول سره د د د د مشهور تدبيره بدن ميخانيکي سرعت په اړه)، چې د داسې مفاهیمو د معرفي کولو په مشرۍ د د د د بدلون د نرخ د دندو په موندلو کې د عامو لارو جوړ، په توګه د اشتقاقونه دنده او هغه differential، او دا هم وموندل چې د الګوریتم inverse ستونزه حل په نامه سره جوخت (متحول) سرعت څخه تیریږي چې په لاره کې چې په مشرۍ د بېلېدونکې مفهوم پیدا اله.

د Leibniz او نيوټن د نظر د کارونو لومړی دا ښکاري چې د توپیر - متناسب دی چې د اساسي دلایل د بهرمن Δh Δu دندی چې کولای شي په بریالیتوب سره تطبیق ته د ورستنيو ارزښت محاسبه زیاتوالی. په بل عبارت، دوی دا ومندله چې دغه بهرمن فعاليت کولای شي په هر ټکی (په خپله د تعريف چې دعامه) وي، د يو Δu = y '(x) د Δh + αΔh چې α Δh خپل اشتقاقونه له پلوه څرګند کړ - پاتې صفر ته، ووب کله Δh → 0، د واقعي Δh په پرتله ډېر چټک.

ته، د محاسبوي تحلیل بنسټګران په وینا، د توپیر - دا دقیقا د کوم دندو زیاتوالی لومړۍ دوره. حتی پرته واضح تعريف حد مفهوم سلسله دي پوه intuitively چې د اشتقاقونه differential ارزښت، ووب ته د فعاليت کله Δh → 0 - Δu / Δh → y '(x).

نيوټن، چې د فزیک او ریاضیاتو دستګاه په پام کې د فزیکي ستونزو د مطالعې لپاره د يو کومکي وسيلې په توګه و اساسا خلاف، Leibniz دې کړنالرې ته زيات پام وکړي، د بصري او د پوهېدلو سمبولونه د رياضي د ارزښتونو د يوه سيستم په ګډون. دا هغه و چې د توپیر دنده وګورو معياري لاندنۍ = y '(x) د DX، DX، او د استدلال په توګه د خپلو اړیکو y دنده د اشتقاقونه' وړاندیز (×) = وګورو / DX.

د عصري تعریف

د عصري رياضي له پلوه توپیر څه دی؟ دا له نږدې څخه د متحول او بهرمن مفهوم سره تړاو لري. که د متحول y د y y = ₁ لومړی ارزښت _نیسي، نو y = y _2، د توپير y ₂ ─ y ₁ د بهرمن ارزښت y غږ وکړ. د بهرمن کیدای شي مثبت. منفي او صفر. دا کلمه "او بهرمن" ده Δ، Δu نومول ثبت (پاتې 'Delta y) د بهرمن y ارزښت عمومأ. نو Δu = y ₂ ─ y _1.

که د ارزښت Δu سري دنده y = f (x) کیدای شی په توګه Δu = يو Δh + α، چې يو پر Δh اتکا نه، T دی استازيتوب. ج = لپاره د ورکړل شوي x د کلیفورنیا، او اصطلاح α کله Δh → 0 ته، ووب دا د اصلي Δh، نو په لومړي ( "بادار") اصطلاح متناسب Δh په پرتله په چټکۍ سره، او د y = f (x) د توپیر دی، denoted وګورو یا ډی (x) د (پاتې "y de"، "de څخه X یزي."). له همدې امله توپیر - د "اصلي" خطي سره د زیاتوالی Δh دندو د برخو او اجزاو د درناوي.

ميخانيکي توضیحات

راځئ چې د = f (T) - په مستقيمو خطونو حرکت په لرې واټن کې د مادي ټکی (- د سفر وخت T) څخه د لومړني مقام. بهرمن Δs - يو وخت وقفه Δt په ترڅ کې په لاره ټکی، او د differential DS = F (T) Δt - دغه لاره، چې ټکی به ورته وخت لپاره ساتل شي Δt، که دا د سرعت F ساتلي '(T)، ته په وخت T . کله چې يو infinitesimal Δt DS د خیالي لاره له واقعي Δs infinitesimally سره Δt درناوي د لوړو نظم لري توپیر لري. که په هغه وخت کې T سرعت مساوي صفر ته نه دی، د تقريبي ارزښت DS ورکوي کوچنۍ تعصب ټکی.

هندسي تفسیر

راځئ چې د کرښې مزی د y = f (x) د ګراف دی. بيا Δ x = MQ، Δu = QM '(وګورئ. په لاندې شکل). د تاجينټ MN مات Δu په دوو برخو، QN او NM 'پرې کړي. د لومړي او Δh دی متناسب QN = MQ ∙ TG (زاويه QMN) = Δh f (x)، T. پست QN ده وګورو differential.

د توپير Δu NM'daet ─ وګورو، کله چې Δh → 0 NM اوږدوالي 'کموي د استدلال د بهرمن په پرتله په چټکۍ سره، دوهمه برخه يعنې د smallness Δh په پرتله لوړې د نظم لري. په دې صورت کې که f (x) د ≠ 0 (غیر موازي تاجينټ غويی) برخو QM'i QN معادل؛ په بل عبارت NM 'کموي په چټکۍ سره د ټولو څخه بهرمن Δu = QM څخه (د خپلو لوړو smallness نظم). دا چې په انځور (راروان برخه M'k M NM'sostavlyaet ټولو کوچني سلنه QM 'برخه) څرګند.

نو، په انځوریزه differential سري وظيفه دا ده مساوي د د د تاجينټ د وړو د بهرمن.

اشتقاقونه او differential

په د بيان د بهرمن دنده لومړۍ دوره یو فکتور دی سره برابر د خپل اشتقاقونه f (x) د ارزښت. په دې ډول، لاندې اړیکې - وګورو = f (x) د Δh یا ډی (x) = f (x) د Δh.

دا ښکاره ده چې د خپلواکه دليل د بهرمن دی سره برابر د خپل differential Δh = DX. سره سم، موږ کولای شو ولیکئ: f (x) د DX = وګورو.

موندل (کله ناکله وايي چې د "پریکړه" وي) توپیر د ده له خوا په توګه د مشتقاتو د ورته قوانينو ترسره کړ. د هغوی لست لاندي ډول دي.

څه نور نړیوال ده: د استدلال او يا د هغې differential د بهرمن

دلته دا ضروري ده چې د ځينو وضاحت وکړي. استازیتوب ارزښت f (x) د differential Δh امکان کله چې د یو استدلال x په پام کې. خو د فعالیت کولای شي یوه پیچلې، په کوم کې x کولای شي د استدلال T یوه دنده وي. بيا د differential بيان د د f (x) د Δh د استازيتوب، د حاکميت په توګه دا ناشونې ده؛ مګر د خطي اتکا x = په + ب په صورت کې.

لکه څنګه چې د فورمول f (x) د DX = وګورو، نو په کې د x T parametric اتکا په صورت کې د خپلواکو استدلال x په صورت کې (نو DX = Δh)، دا توپیر.

د مثال په توګه، د بيان د 2 x Δh لپاره د y = x ² خپل differential کله چې x د يو دليل دی. اوس x = T ² او موږ T دليل په غاړه واخلي. بيا y = x ² = ^{4 T.}

دا دی چې ورپسې د (T + Δt) ² = T ² + 2tΔt + Δt ^2. نو Δh = 2tΔt + Δt ^2. نو: 2xΔh = 2t ² (2tΔt + Δt ^2).

دا د بيان د Δt متناسب نه ده، او له همدې امله ده چې اوس 2xΔh نه differential. دا معادله y = x ² = ⁴ T له وموندل ^شي. دا مساوي وګورو = 4t ³ Δt.

که موږ د بيان د 2xdx واخلي، دا د differential y = x ² د هر دليل T. په حقيقت کې، کله چې د x = T ² ترلاسه DX = 2tΔt.

نو 2xdx = 2t ² 2tΔt = 4t ³ .DELTA.t، T. E. د بيان د توپیر له خوا د دوو مختلفو متحولونه ثبت سمون.

بدلول زیاتوالی توپیر

که f (x) د ≠ 0، نو Δu او وګورو معادل (کله چې Δh → 0)؛ که f (x) = 0 (مانا او وګورو = 0)، دوی معادل نه دي.

د بېلګې په توګه، که y = x ^2، نو Δu = (x + Δh) ² ─ x ² = 2xΔh + Δh ² او وګورو = 2xΔh. که x = 3، نو موږ Δu = 6Δh + Δh ² او وګورو = 6Δh چې معادل له امله Δh ² → 0، لري کله چې x = 0 ارزښت Δu = Δh ² او وګورو = 0 معادل نه دي.

دا حقیقت سره سره، د د differential ساده جوړښت په ګډه (M. سره Δh احترام E. Linearity)، اکثرا په تقريبي محاسبه کارول، په فرضيه چې د وړو Δh Δu ≈ وګورو. موندل د differential وظيفه دا ده معمولا په پرتله د بهرمن کره ارزښت محاسبه آسانه.

د مثال په توګه، موږ سره څنډه فلزي مکعب لري x = 10.00 سانتي. په څنډه غزولې پر Δh = 0،001 سانتی. حجم مکعب V څنګه زیات تودې؟ موږ V = x ^{2 لرو، له} دې امله چې د dV = 3x ² = Δh 3 ∙ ∙ ⁰ 10 2/01 = 3 (CM ^3). زیاتوالی ΔV معادل differential dV، له دې امله چې د ΔV = 3 سانتي ^3. بشپړ محاسبه به ³ ΔV = 10،01 ─ د مارچ په ¹⁰ = 3.003001 ورکړي. خو د ټولو ګڼې پرته د لومړي اعتبار وړ پایله؛ له همدې امله دا اړينه ده، تر اوسه نه تر 3 سانتي ³ پورته ^کړئ.

ښکاره خبره ده، په دې لاره ده ګټور یوازې که دا ممکنه ده چی د ارزښت بوخت سره د ګمراهۍ اټکل.

differential دنده: مثالونه

راځئ چې هڅه وکړي تر څو د دنده y = x ³ د توپیر ^پیدا، د اشتقاقونه موندلو. راځئ چې د استدلال او بهرمن Δu ورکړي او تعريف کړئ.

Δu = (Δh + x) ³ ─ x ³ = 3x + Δh (Δh 3xΔh ² + ^{3) 2.}

دلته، د ضريب يو = 3x ² نه Δh پورې اړه لري، له دې امله چې د لومړۍ دوره ده متناسب Δh، د نورو غړو 3xΔh Δh ² + ³ کله چې Δh → 0 د استدلال د بهرمن په پرتله په چټکۍ سره کم شی. په پایله کې، د 3x ² Δh غړي د y = x ³ د توپیر ^دی:

وګورو = 3x ² Δh = 3x ² DX یا D (x ³⁾ = 3x ² DX.

پکې d (x ³⁾ / DX = 3x ^2.

د دنده y وګورو موږ اوس د موندلو = 1 / x د اشتقاقونه له خوا. بيا d (1 / x) / DX = ─1 / x ^2. له همدې امله وګورو = ─ Δh / x ^2.

توپیر اساسي algebraic دندو لاندې ورکول کيږي.

differential کارولو تخمیني محاسبه

د دنده f (x) د ارزوي، او د هغې د اشتقاقونه f (x) په x = يو دي اکثرا ستونزمن کار، خو د x = یوه په څنګ کې ورته څه اسانه خبره نه ده. بيا د تقريبي د بيان د مرستو ته راشي

f (یو + Δh) ≈ F '(الف) د Δh + F (الف).

په دغه کار کې د وړو زیاتوالی د دندو يوه تقريبي ارزښت خپل differential Δh F '(الف) د Δh له لارې ورکوي.

له دې امله، چې دا فورمول د يو تقريبي د بيان لپاره د د اوږدوالي Δh يوه برخه د پای د ټکي په توګه په د برخه (x = الف) او په همدې پیل ټکی د توپیر د پیل ټکی د هغه د ارزښت په اندازه د دنده ورکوي. د فعالیت د ارزښتونو د معلومولو لپاره د ميتود په دقت لاندې د انځور څرګندوي.

خو د مشهور او د کره د بيان لپاره د دنده x = یو + Δh د ارزښت له خوا فورمول د محدودو زیاتوالی ورکول (او یا داچه Lagrange د فورمول)

f (یو + Δh) ≈ F '(ξ) Δh + F (الف) د،

چې د ټکی x = یو + ξ کې له x = A ته x = یو + Δh د وقفه ده، که څه هم د خپلو کره دريځ نامعلوم دی. د کره فورمول ته اجازه ورکوي تر څو د تقريبي فورمول د ګمراهۍ ارزوي. که موږ په Lagrange فورمول ξ = Δh / 2 کړي، که څه هم دا د الزامي کره وي، خو ورکوي، د يو حاکميت په توګه، د توپیر له پلوه د اصلي بيان په پرتله ډېر ښه چلند.

له خوا پلي differential ارزونې فورمولونه ګمراهۍ

وسایلو اندازه ، په اصل کې، ناسم، او د اندازه کولو د معلوماتو مطابق د ګمراهۍ راولي. هغوی له خوا د محدودولو خصوصيات دي مطلق غلطي، مثبت، په څرګند ډول په مطلق ارزښت (او یا لږ تر ټولو ته دا مساوي) د ګمراهۍ څخه زیات - یا، په لنډه توګه، د حد تېروتنه. محدودول د نسبي ګمراهي ده د قسمت له خوا ویشۍ، دا د اندازه ارزښت مطلق ارزښت له خوا د تر لاسه غوښتنه وکړه.

راځئ کره فورمول y = f (x) د فعالیت لپاره کارول vychislyaeniya y، خو د x د ارزښت په دی اندازه کړل، او له همدې امله راولي د y تېروتنه. بيا، چې د محدودولو مطلق غلطي │Δu│funktsii y د موندلو، د فورمول د کارولو

│Δu│≈│dy│ = │ f (x) د ││Δh│،

چې │Δh│yavlyaetsya حاشیوي تېروتنې دليل. │Δu│ کمیت باید د پورته ګردي شي، لکه څنګه ناسم محاسبه پخپله پر differential محاسبه د بهرمن بدلون دی.